Dựng bốn điểm bất kỳ bằng công cụ [Điểm] Điểm, và đặt tên cho bốn điểm này là A, B, C, M ngay sau khi tạo ra chúng. Cabri cho phép tạo ra các vectơ. Mỗi vectơ thông thường được biễu diễn bởi một đoạn thẳng có hướng. Bây giờ dựng vectơ bởi công cụ [Đường thẳng]Vectơ, bằng cách chọn trước tiên M rồi tới A. Vectơ này có gốc là M. Làm tương tự với .

Sau đó dựng một đại diện của vectơ tổng bằng cách kích hoạt công cụ [Dựng hình]Tổng của hai vectơ sau đó chọn hai vectơ rồi chọn gốc của vectơ đại diện cho vectơ tổng; ở đây ta chọn M. Gọi N là đầu mút của vectơ tổng.

Cuối cùng, ta dựng vectơ tổng của ba vectơ với M là gốc theo cách tương tự, bằng cách cộng . Gọi P là đầu mút của vectơ này.


Hình 3.1 – [Bên trái]. Từ ba điểm bất kì A, B, C và điểm M, ta dựng các vectơ MA, MB và MC.
[Bên phải]. Nhờ công cụ [Dựng hình]Tổng của hai vectơ, ta dựng tổng .

Bây giờ ta có thể tìm lời giải của bài toán bằng thao tác. Để làm điều đó, ta kích hoạt công cụ [Thao tác]Chọn và ta dịch chuyển điểm M. Tổng của ba vectơ sẽ tự cập nhật một cách tức thì ở mỗi khi dịch chuyển điểm M.

Tùy theo vị trí của M so với các điểm A, B, C, ta quan sát độ lớn và hướng của vectơ tổng . Từ đó đưa ra các phỏng đoán như sau (ngoài ra còn có thể có các phỏng đoán khác) :

• Có một vị trí duy nhất của M sao cho tổng của ba vectơ bằng không: bài toán chỉ có một đáp án duy nhất. Đáp án này là một điểm nằm bên trong tam giác ABC.
• Tứ giác MANB là một hình bình hành.
• Tứ giác MCPN là một hình bình hành.
• Để tổng bằng không, các vectơ và phải cộng tuyến, cùng độ lớn và ngược chiều, nghĩa là đối nhau.
• Đường thẳng MP luôn đi qua một điểm, và điểm này là đáp án của bài toán.
• Đầu mút P của vectơ đại diện vectơ tổng là một điểm phụ thuộc vào M. Như vậy ta có thể định nghĩa một phép biến hình biến điểm P thành điểm M. Lời giải của bài toán đã cho là một điểm bất biến của phép biến hình này này.

Từ các ghi nhận trên, việc nghiên cứu sẽ nghiêng về hướng này hoặc hướng khác.

Ví dụ giả sử ta đã thấy rằng các vectơ phải đối nhau. Vậy thì ta đặt ra một vấn đề khác: tại vị trí nào của M thì hai vectơ này cộng tuyến ? Dịch chuyển M sao cho hai vectơ cộng tuyến. Ta thấy rằng M chạy trên một đường thẳng, và đường thẳng đó đi qua C cũng như đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB. Đường thẳng này chính là trung tuyến từ C của tam giác. Do các điểm A, B, C có vai trò như nhau nên điểm này cũng nằm trên hai trung tuyến khác và như vậy đó chính là giao điểm của ba đường trung tuyến.


Đối với bài tập trên lớp, học sinh còn phải cần tìm ra cách dựng điểm này, và cần chứng minh giả thuyết mà ta đã phát biểu sau khi khám phá các hình vẽ khác nhau.

Độ tin cậy của một phép dựng hình động thì cao hơn nhiều so với phép dựng một hình tĩnh trên giấy. Thật vậy, ta chỉ cần thao tác trong một số lớn trường hợp để kiểm chứng giả thuyết. Một giả thuyết hợp lệ sau khi thao tác như vậy sẽ đúng trong đa số trường hợp.

Để việc học trên lớp có hiệu quả nhất, việc đề cập các vấn đề sau (ngoài các vấn đề khác nữa) sẽ thú vị đối với học sinh :

• Một phép dựng hình động đúng bằng quan sát thị giác thì có đúng không ?
• Một phép dựng hình động đúng sẽ là một lời giải của bài toán ?
• Khi nào một lập luận có thể được coi là một chứng minh ?
• Một phép dựng hình động đúng thì cần bổ xung cái gì để từ đó dẫn ra một chứng minh ?
• Việc chứng minh có phải dựa trên tiến trình xây dựng hình vẽ ?

Bài tập 3 - Mở rộng bài toán trên cho bốn điểm, bằng cách tìm điểm M sao cho

Bài tập 4 – Hãy nêu « các con đường khám phá » và các cách chứng minh cho bài toán ban đầu (ba điểm) đối với một học sinh lớp 10.
Bài tập 5 - Khảo sát và dựng điểm M sao cho tổng khoảng cách (MA + MB + MC) đến ba 3 điểm A, B, C cho trước là bé nhất. Đó là điểm Fermat của tam giác ABC.

Xem toàn bộ sách hướng dẫn sử dụng:

Bài 1. Giới thiệu

Bài 2. Phép dựng hình đầu tiên của bạn

Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG EULER TRONG TAM GIÁC

Bài 4. CHINH PHỤC ĐIỂM BÍ HIỂM

Bài 5. TỨ GIÁC VARIGNON