Các điểm A’, B’ và C’ sẽ tạo nên một tam giác mà ta có thể dựng bằng công cụ [Đường]Tam giác. Tam giác này gọi là tam giác thuỳ tức ứng với tam giác ABC. Ta có thể tô màu phần bên trong tam giác bằng cách dùng công cụ [Thuộc tính]Tô. Bây giờ ta sẽ quan tâm đến diện tích của tam giác này tuỳ theo vị trí của điểm M. Diện tích của tam giác sẽ thu được bằng công cụ [Đo]Diện tích. Công cụ này cho ta diện tích « hình học » luôn là một số không âm mà không quan tâm đến hướng của tam giác.

Ta thu được diện tích tam giác theo đơn vị cm2 và ta có thể đặt số đó tại một vị trí tự do trên vùng làm việc. Bảng chọn ngữ cảnh thu được khi kích phải chuột trên số này sẽ cho phép sự hiển thị « đại số » của diện tích mà dấu của nó phụ thuộc vào hướng của tam giác.

Hình 1.1 – Tam giác thuỳ tức tương ứng với điểm M và diện tích của tam giác.

Ta sẽ khảo sát sự biến thiên của diện tích tam giác A’B’C’ tuỳ theo vị trí điểm M. Ta có nhiều chiến lược giải cho bài toán. Ví dụ ta có thể kích hoạt vết của điểm M (công cụ [Văn bản và Biểu tượng]Vết), sau đó dịch chuyển điểm M trong khi thử tìm cách giữ diện tích không đổi. Khi đó các vị trí khác nhau của M được hiển thị và ta sẽ có dáng vẻ của đường mức gắn với hàm số là diện tích tam giác A’B’C’. Một chiến lược khác là sử dụng tập hợp các điểm trên lưới để thu được một sự biểu diễn ảo của diện tích tam giác A’B’C’ cho rất nhiều vị trí của M.

Ở đây chúng tôi sử dụng chiến lược này và sẽ dựng đường tròn tâm M có diện tích tỉ lệ với diện tích tam giác A’B’C’. Đầu tiên ta cần tính bán kính của đường tròn biết nó tỉ lệ với căn bậc hai của diện tích tam giác. Ta kích hoạt công cụ [Đo]Máy tính bỏ túi và nhập biểu thức sqrt( sau đó chọn số biểu thị diện tích tam giác để cho vào biểu thức, bây giờ biểu thức trở thành sqrt(a. Ta đóng ngoặc và chia tiếp cho 10 để tránh trường hợp đường tròn qúa lớn. Bây giờ biểu thức trong máy tính bỏ túi sqrt(a)/10. Ta tính giá trị này bằng cách bấm phím =, sau đó ta thực hiện rê-đặt chuột để cho kết quả ra vùng làm việc.

Để dựng đường tròn có tâm M và có bán kính đã đựoc tính như trên, ta kích hoạt công cụ [Dựng hình]Compa. Ta chọn số đã cho ra vùng làm việc, sau đó chọn điểm M. Khi đó ta sẽ thu được đường tròn có tâm M và có bán kính phải tìm. Bây giờ ta đã có thể quan sát bằng trực giác sự biến đổi của diện tích tam giác tuỳ theo vị trí điểm M.

Hình 1.2 – Ta dựng đường tròn có tâm M, diện tích tỉ lệ với diện tích của tam giác A’B’C’.

Bây giờ ta sẽ định nghĩa một lưới, sau đó định nghĩa lại điểm M như là một điểm của lưới, và cuối cùng ta dựng tất cả các đường tròn biểu thị diện tích của tam giác thuỳ tức khi điểm M chạy trên lưới. Để định nghĩa một lưới, ta cần có hệ trục toạ độ. Ta sẽ sử dụng hệ trục mặc định có mặt trong tất cả các hình. Ta làm cho chúng hiển thị bằng cách chọn [Thuộc tính]Hiện các Trục. Sau đó ta kích hoạt công cụ [Thuộc tính]Lưới và ta chọn các trục. Khi đó một lưới điểm sẽ xuất hiện.

Hình 1.3 – Ta dựng một lưới từ các trục xác định bởi mặc định cho hình vẽ, sau đó ta định nghĩa lại điểm M như là một điểm tự do trên lưới.

Điểm M đang là điểm tự do trong mặt phẳng ; ta sẽ định nghĩa lại để điểm này thuộc lưới điểm vừa tạo. Ta kích hoạt công cụ [Dựng hình] Định nghĩa lại Đối tượng, sau đó ta chọn điểm M, chọn Điểm trên đối tượng của bảng chọn xuất hiện tại thời điểm đó. Bây giờ điểm M chỉ có thể được dịch chuyển trên lưới.

Công cụ [Dựng hình]Tập hợp điểm cho phép dựng tập hợp các đường tròn khi ta dịch chuyển điểm M trên lưới. Ta chọn đường tròn rồi sau đó là điểm M để thu được tập hợp các đường tròn khi M di động trên lưới.

Bây giờ ta chứng minh rằng các đường « giá trị mức » của diện tích tam giác là các đường tròn có tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (tham khảo thêm Hình học Marcel Berger, nhà xuất bản CEDIC, mục 10.4.5). Đặc biệt diện tích của tam giác A’B’C’ bằng 0 khi M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Điều đó tương đương với kết luận là các điểm A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình 1.4 – Phân hoạch diện tích của tam giác thuỳ tức tuỳ theo vị trí điểm M.

Bài tập 8 – Khi M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các điểm A’, B’, và C’ thẳng hàng và đường thẳng đi qua A’, B’, C’ được gọi là đường thẳng Simson1 hoặc đường thẳng Wallace2 tương ứng với điểm M.

Kết quả này, từ lâu đã được gán một cách sai lầm cho Simson, được công bố bởi Wallace vào năm 1799. Hãy dựng hình bao của đường thẳng Simson (ta sử dụng công cụ [Dựng hình]Tập hợp điểm). Theo mặc định, trong trường hợp các đường thẳng công cụ này sẽ cho ra hình bao của chúng chứ không phải tập hợp điểm.

Đường cong này bất biến qua phép quay và được gọi là một hình đen-ta vì nó có dạng như kí tự ∆ : đó là đen-ta Steiner 3. Đường cong này tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

Đó là một đường cong đại số bậc 4. Ta có thể kiểm chứng điều này bằng cách dùng công cụ [Đo]Phương trình và Toạ độ.

Bài tập 9* - Đối với hình đen-ta đã nêu trong bài tập trước, hãy dựng đường tròn, ba tiếp điểm với ba đường thẳng, ba đỉnh của đường cong cũng như đường tròn lớn nhất trong số các đường tròn nội tiếp đường cong.

Hình 1.5 – Hình bao của đường thẳng Simson của tam giác ABC gọi là một đen-ta (hình tam giác lá). Nó có các trục đối xứng như trong tam giác đều.

School@net