Lẽ dĩ nhiên tôi tin chắc rằng, một số bạn sẽ không ngờ đây chính là bài toán của Héron. Một nhà toán học nổi tiếng với công thức tính diện tích (p là nửa chu vi tam giác) nhiều hơn là người phát hiện ra bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất này.

Về mặt thực tiễn, chúng ta có nhiều dạng thể hiện khác của bài toán 1 :

Bài toán 2Có hai địa điểm A và B nằm về cùng một phía đối với một con đường xe lửa đi qua hai địa điểm này. Người ta muốn xây dựng một nhà ga sao cho tổng khoảng cách từ địa điểm A đến nhà ga và từ nhà ga đến địa điểm B là ngắn nhất.

Từ đây, ta có bài toán toán học :

Bài toán 3Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía đối với đường thẳng d. Tìm trên d một điểm C sao cho AC + CB nhỏ nhất.

Từ bài toán toán học này, ta dựng hình trên phần mềm hình học Cabri :

. Dựng điểm A, dựng điểm B.

. Dựng điểm C trên đường thẳng d.

. Nối CA, CB.

. Đo khoảng cách CA, CB.

. Đo tổng khoảng cách CA + CB.

. Dựng hệ trục Oxy.

. Dựng ON trên Oy sao cho o­n = CA + CB.

. Dựng giao điểm của đường vuông góc với o­n và đường vuông góc với OC tại C là E.

. Tạo vết cho E, chuyển động C ta có hình 1.

Cái hay mà trên phần mềm hình học Cabri có được, cái mà bằng tư duy toán học thông thường khó có thể thực hiện được, chính là chỗ, ta có thể di chuyển điểm C trên d sao cho hàmkhoảng cách AN di chuyển đến vị trí bé nhất E. Lúc này quan sát, ta thấy dường như góc ACd và BCx là bằng nhau.

Như vậy cách dựng hình trên phần mềm hình học Cabri cho phép chúng ta một cách tiếp cận toán học quan trọng mà bình thường chúng ta khó có thể làm. Đó là có thể vẽ được ngay hàm tính khoảng cách. Từ hàm khoảng cách này ta có thể di chuyển điểm C đến vị trí sao cho hàm khoảng cách là bé nhất. Từ vị trí C sao cho hàm tính khoảng cách là bé nhất, ta sẽ suy ra cách thức giải quyết bài toán.

Muốn hay không muốn thì đây luôn là một tư duy toán học cực kì hay. Nó cho phép ta tiếp cận ngay kết quả. Từ kết quả, chúng ta sẽ suy ra cách giải. Rõ ràng, đây là một điều hơi ngược đời. Nhưng sự ngược đời hoàn toàn có lí nhờ vào sự phát triển của tin học. Ta sẽ đi tìm hiểu cách giải của bài toán Héron này.

Cách 1. Lấy điểm A’ đối xứng với A qua d. Khi đó AC = A’C. Do đóAC + BC ngắn nhất khi và chỉ khi A’C + BC ngắn nhất. Hay B, C, A’ thẳng hàng (hình 2).

Sở dĩ tôi dám nói cách 1, bởi bài toán Héron còn một số cách khác. Cách giải được tìm ra cũng cách đây khoảng vài trăm năm. Cách giải này được nhà toán học người Pháp Pierre de fermat tìm ra dựa vào nguyên lí về sự truyền ánh sáng. Nguyên lí Fermat thường được phát biểu đơn giản theo cách sau : Ánh sáng truyền theo đường mà thời gian truyền là nhỏ nhất. Chính xác hơn, nguyên lí Fermat được phát biểu dưới dạng tổng quát là : Quang lộ từ một điểm này tới một điểm khác phải là một cực trị : nghĩa là hoặc nhỏ nhất, hoặc lớn nhất, hoặc dừng (độ dài các đường truyền đều bằng nhau)”.

Một cách phát biểu dưới dạng khác : “Thời gian truyền của ánh sáng từ một điểm này tới một điểm khác phải là một cực trị :nghĩa là hoặc nhỏ nhất, hoặc lớn nhất, hoặc không đổi (như nhau đối với mọi đường truyền)”.

Như vậy, dựa vào nguyên lí Fermat, ta có thể giải bài toán động học có dạng : “Tìm quỹ đạo chuyển động của vật để thời gian chuyển động của nó là nhỏ nhất ?”.

Phương pháp giải bài toán động học có dạng nguyên lí Fermat được hiểu như sau :

. Chuyển động của vật được xem như sự truyền của ánh sáng.

. Các miền mà chất điểm chuyển động trong đó sẽ đóng vai trò môi trường truyền ánh sáng.

Khi đó, tại ranh giới của các miền (môi trường) sẽ xảy ra các hiện tượng phả xạ hoặc khúc xạ ánh sáng. Áp dụng các định luật cơ bản của quang hình học, chúng ta có thể nhận được ngay lời giải cần tìm của bài toán. Để có thể giải được bài toán 1 theo phương pháp vật lý, ta phát biểu lại bài toán 1 theo dạng :

Bài toán 3Vòng chung kết cuộc thi kén chồng còn lại 3 chàng trai : một nhà Toán học, một nhà Vật lý học, một nhà Hoá học. Điều kiện cô gái đưa ra là : các chàng trai phải xuất phát đồng thời từ một điểm A, chạy đến hái một bông hoa tại một điểm bất kì trên hàng rào d và chạy về điểm B tặng cho cô gái đang đứng đợi ở đó (hình 1). Ai đến sớm nhất thì cô gái sẽ lấy làm chồng. Biết rằng, vận tốc chạy của 3 chàng trai là như nhau. Cuối cùng nhà toán học đã tìm được đường đi với với thời gain ít nhất và thắng cuộc. Hỏi nhà Toán học đã chạy theo đường nào và tìm thời gian cho đường đó.

Cách 1. Để thời gian chuyển động là nhỏ nhất, nhà Toán học phải chạy theo đường gấp khúc AC’B, với C’ là điểm hái hoa. Chúng ta cần tìm vị trí của điểm C’. Thời gian chuyên động từ A đến C’ : . Thời gian chuyển động từ C’ đến B là :

Tổng thời gian chuyển động theo đường gấp khúc AC’B : Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Ta có AC' = A'C'. Trong tam giác A’BC’, A'C' + C'B³hay AC' + C'B³ A'B .

Suy ra :

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A’BH, ta có :

Dấu “=” trong bất đẳng thức (1) xảy ra (tương ứng với thời gian nhỏ nhất) khi , nghĩa là :

Vậy nhà Toán học phải chạy theo quỹ đạo là đường gấp khúc BAC (thoả mãn điều kiện ) để thời gian chuyển động là ít nhất. Thời gian đó là :

Cách 2. Chuyển động của nhà Toán học theo đường gấp khúc AC’B có thể xem như ánh sáng truyền từ A tới “gương phẳng” d (hàng rào d đóng vai trò gương phẳng), sau khi phản xạ trên gương, tia phản xạ đi qua điểm B.

Theo định luật phản xạ ánh sáng, ta nhận được ngay lời giải của bài toán khi

Như vậy, ta nhận thấy một điều cực kì quan trọng. Ta biết rằng, để giải quyết một bài toán toán học, ta có thể sử dụng cách giải bằng phương pháp tin học. Cách làm này được tôi sử dụng nhiều trên tạp chí của chúng ta. Tuy nhiên, cách làm này không phải chỉ có tin học mới làm được, mà Vật lý học của làm được. Xuất phát từ một bài toán thực tế, ta đưa về bài toán toán toán học để giải quyết. Tức là ta toán học hoá bài toán thực tế. Ta xử lí và tìm ngay được kết quả bằng tin học. Từ kết quả, ta đi giải quyết bài toán toán học. Với bài toán toán học này, ta có thể xử lý bằng phương pháp Vật lý học. Để làm được điều đó, ta lại phải Vật lý hoá bài toán toán học. Tiếp theo, ta giải quyết bài toán Vật lý, rồi cho ra kết quả của bài toán Toán học cần tìm. Rõ ràng, ta đã thấy mối quan hệ mật thiết giữa Toán học, Tin học và Vật lý học. Mối quan hệ này có lẽ là một mối quan hệ tuyệt đẹp mà chúng ta cần có nhiều công trình khám phá hơn nữa.

Ta sẽ đi tìm tiếp một bài toán tương tự với bài toán 1, bài toán thực tế trong sách giáo khoa sau :

Bài toán 4Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song) (Hình 5). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và làm hai đoan đường thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí của chiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất.

Để giải bài toán thực tế này, ta mô hình hoá bài toán Toán học. Sau đó, ta mô tả bằng phương pháp tin học. Ta thực hiện điều này trên phần mềm Cabri. Ta vẽ một đường thẳng, sau đó, ta tạo ra 3 nút Interrupteur là : Hướng dẫn, đố thị, và tịnh tiến. Việc tạo ra 3 nút Interrupteur để làm gì ? Ta tạo để dành cho việc trình diễn nó theo một trình tự mà ta mong muốn.

Ta vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau. Vẽ hai vec tơ theo hướng giống như hướng của trục Oxy thông thường.

Sau đó ta vẽ dòng sông, các điểm A, M, N ; cây cầu MN. Dựng hàm khoảng cách. Các cách dựng này tương tự như cách dựng bài toán 1. Vì vậy, tôi sẽ không trình bày lại ở đây. Từ hình vẽ 5, bạn đọc có thể tìm ra cách dựng cho bài toán một cách đơn giản.

Tạo vết cho điểm L, chuyển động điểm M, ta sẽ thu được hình dạng của hàm khoảng cách. Di chuyển điểm M đến vị trí sao cho hàm khoảng cách AM + BN là bé nhất (hình 6). Từ vị trí bé nhất này, ta sẽ tìm ra cách giải tương ứng cho nó.

Ta giả sử rằng, nếu con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB). Từ đó dẫn tới sử dụng phép tịnh tiến cho phép “đi trước” qua cầu và chuyển về bài toán trên. Đặt (Vectơ có phương vuông góc với bờ sông và độ dài bằng bề rộng con sông). Ta có:

Nên . Do đó (AM + MN+ NB) ngắn nhất. ngắn nhất. thẳng hàng.

Cách dựng M, N:

- Dựng A^/ sao cho .

- Dựng N là giao điểm của A^/B và b.

- Dựng N sao cho .

M, N là các vị trí cần tìm.

Trong Vật lý học có một bài toán tương tự với bài toán 4, nhưng ở mức độ khó hơn.

Bài toán 5Một vận động viên cần chạy từ điểm A đến điểm B. Giữa các điểm đó có môt dòng sông mà hai bờ là hai đường thẳng song song x và y (hình 7). Trên đường đất vận động viên chạy với vận tốc u₁, dưới nước anh ta bơi với vận tố u₂. Cho rằng, nước trong sông là đứng yên. Chứng minh rằng, thời gian chuyển động của vận động viên từ A đến B là nhỏ nhất, nếu như các góc a₁, a₂ và bđồng thời thoả mãn các điều kiện :

Ta có các cách giải sau :

Cách 1. Tổng thời gian chuyển động theo đường gấp khúc ACDB : Lấy đạo hàm riêng phần của thời gian t theo x và y. Điều kiện cực trị (cũng chính là thời gian chuyển động là nhỏ nhất) : , do đó : và

. Mặt khác, từ hình vẽ 7, ta có :

Từ (2), (3), (4) suy ra :

Cách 2. Chuyển động của người theo đường gấp khúc ACDB có thể xem như ánh sáng trong ‘‘môi trường - đường đất’’ truyền từ điểm A, qua bản mặt song song xy (dòng sông khi này đóng vai trò là bản mặt song song xy) rồi ló ra ‘‘môi trường - đường đất’’, truyền tới điểm B. Vận tốc truyền ánh sáng trong ‘‘môi trường - đường đất ’’, truyền tới điểm B. Vận tốc truyền ánh sáng trong ‘‘môi trường - đường đất ’’ là u₁, trong bản mặt song song là u₂.

Do đó, chiết suất của ‘‘môi trường - đường đất ’’ : và chiết suất của bản mặt mặt song song xy : với C là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Áp dụng định luật khúc xạ sáng, ta có, tại điểm C : . Tại điểm D : . Từ (5), (6), (7), (8) suy ra .

Mở rộng bài toán 1 theo dạng :

Bài toán 5Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật AEFD và 3 ngôi nhà. Nhà bảo vệ C, nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghĩ và thay trang trang phục P. Kèm theo đó người ta xây dựng hai cửa chính Q, H và một cửa phụ K. Bạn hãy giúp người thiết kế sân tìm vị trí P, Q, H, K sao cho trước và sau mỗi trận thi đấu, người bảo vệ có thể đi theo con đường ngắn nhất để làm nhiệm vụ. Theo đó người ta cho xây các cửa P, H, Q, K và con đường BPC. Sơ đồ mảnh đất và vị trí cố định của B, C và các vị trí cần được xác định P, Q, H, K có dạng như hình 8.

Ta giải bài toán 5 như sau : Con đường , sẽ ngắn nhất nếu ta tìm được P, Q, H, K mà S₁ = PB + PC nhỏ nhất và S₂ = CH + HK + KQ + QB nhỏ nhất. Kiến thức về phép đối xứng trục sẽ giúp ta giải quyết bài toán này. Ta xác định các vị trí P, Q, H, K như sau:

Việc chứng minh điểm P dựng như trên để S₁ nhỏ nhất đã trình bày trong bài toán 1. Việc dựng điểm K như trên, cũng theo bài toán 1 đã nêu thì mới đảm bảo cho S = BK + KC nhỏ nhất.

Ta sẽ chứng minh các điểm K, Q, H dựng như vậy thỏa mãn S₂ = CH + HK + KQ + QBnhỏ nhất. Thật vậy : Xét các điểm K₁,Q₁, H₁ bất kỳ lần lượt thuộc AD, EF ; dễ dàng nhận thấy:

Dấu “=” trong (*) khi và chỉ khi các dấu “=” trong (9), (10), (11), (12) đồng thời xảy ra. Như vậy: K, Q, H dựng như trên đảm bảo cho ta S₂ là nhỏ nhất. Tóm lại : S₁ + S₂= CH + HK + KQ + QB + BP + PC, với cách dựng P, Q, H, K như trên thì S₁+ S₂ là nhỏ nhất. Do các điểm P, K là duy nhất, nên vị trí các điểm P, Q, H, K như trên là duy nhất. Để ý là mảnh đất ABCD là hình thang vuông, sân vận động AEFD là hình chữ nhật nên ta dễ dàng chứng minh được các vị trí P, Q, K, H xác định như trên là thỏa mãn các yêu cầu thực tế của bài toán. (Cụ thể là : Q, P, H nằm trên cạnh EF; K nằm trên cạnh AD của hình chữ nhật ABCD và P nằm giữa Q và H ).

Lẽ dĩ nhiên, bạn có thể sử dụng phần mềm tin học Cabri nếu bạn cần. Quá trình dựng hình và sử dụng phần mềm tin học Cabri sẽ cho ta biết trước được kết quả. Sau đó, ta sẽ biết được vị trí các điểm cần tìm. Từ đó, mới dẫn đến việc đi tìm lời giải bài toán.

Bài toán mở rộng của bài toán 1 trong không gian như sau :

Bài toán 6Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cùng thuộc một miền không gian do (P) chia ra. tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho AC + CB nhỏ nhất.

Chúng ta đã có một số các cách nhìn rất thú vị về bài toán Héron này. Sự kết hợp giữa Toán học, Tin học và Vật lý học đã đem lại cho chúng ta nhiều điều rất hay. Trong tất cả các bài viết về bài toán Héron xuất hiện trên bất cứ tài liệu nào, ở bất cứ đâu, tôi tin chắc rằng, bài viết về bài toán Héron của tôi là một trong những bài viết thú vị nhất mà bạn được đọc.

( Nguyễn Ngọc Giang - 229/85 - Thích Quảng Đức - Phường 4 - Quận Phú Nhuận - TP. Hồ Chí Minh )

School@net