I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của .

Chú ý. Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì với , cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Bài toán

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và hai vectơ không cùng phương vectơ = (a₁; a₂; a₃), = (b₁; b₂; b₃) có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Chứng minh rằng mặt phẳng nhận vectơ: = a₂b₃ - a₃b₂; a₃b₁ - a₁b₃; a₁b₂ - a₂b₁ làm vectơ pháp tuyến.

Giải: Ta có:

Vậy vectơ vuông góc với cả hai vecto và , có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng . (h.3.4). Suy ra giá của vuông góc với mặt phẳng . Vì , không cùng phương nên các toạ độ của không đồng thời bằng 0, suy ra . Do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.4.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Vectơ xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và , kí hiệu là hoặc .

?1. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2 ; -1 ; 3), B(4 ; 0 ; 1), C(-10 ; 5 ; 3). Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Bài toán 1

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và nhận (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y ; z) thuộc mặt phẳng là: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Giải:

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.5.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Bài toán 2

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thoả mãn phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) là một mặt phẳng nhận vectơ = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến.

Giải: Ta lấy điểm M₀(x₀, y₀, z₀) sao cho Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0 (chẳng hạn nếu A0 thì ta lấy x₀ = - D/A; y₀ = z₀ = 0).

Gọi là mặt phẳng đi qua điểm M₀ và nhận = (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến. Ta có:

A(x -x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

Ax + By + Cz - (Ax₀ + By₀ + Cz₀) = 0

Ax + By + Cz + D = 0 vì D = - (Ax₀ + By₀ + Cz₀).

Từ hai bài toán trên ta có định nghĩa sau:

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng không, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

a) Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là = (A; B; C).

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) nhận vectơ = (A; B; C) khác làm vectơ pháp tuyến là A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀).

?2. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : 4x – 2y – 6z + 7 = 0.

?3.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng :Ax + By + Cz + D = 0 (1)

a) Nếu D = 0 thì gốc toạ độ O có toạ độ thoả mãn phương trình của mặt phẳng . Vậy đi qua gốc toạ độ O (h.3.6).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.6.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

b) Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A = 0 thì mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là = (A; B; C). Ta có . Do là vectơ chỉ phương của Ox nên ta suy ra song song hoặc chứa trục Ox (h.3.7a).

Tải trực tiếp tệp hình học động bên trái ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7a.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động giữa ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7b.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động bên phải ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.7c.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?4. Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì mặt phẳng có đặc điểm gì?

c) Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, ví dụ A = B = 0 và C ≠ 0 thì từ trường hợp b) ta suy ra mặt phẳng song song với Ox và Oy hoặc chứa Ox và Oy. Vậy song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) (h.3.8a).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8a.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8b.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.8c.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

?5. Nếu A = C = 0 và B0 hoặc nếu B = C = 0 và A0 thì mặt phẳng có đặc điểm gì?

Nhận xét:

Nếu cả bốn hệ số A, B, C, D đều khác 0 thì bằng cách đặt a = - D/A, b = - D/B, c = - D/C, ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây:

Khi đó mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm có toạ độ là (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0 ; c). Người ta còn gọi phương trình (2) là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn (h.3.9).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.9.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz cho ba điểm M(1 ; 0 ; 0), N(0 ; 2 ; 0), P(0 ; 0 ; 3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP).

Giải:

Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là:

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

?. Cho hai mặt phẳng và có phương trình:

: x – 2y + 3z + 1 = 0

: 2x – 4y + 6z + 1 = 0

Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng?

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng và có phương trình:

:A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

:A₂x B₂y + C₂z + D₂ = 0

Khi đó và có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là:

= (A₁; B₁; C₁)

= (A₂; B₂; C₂)

Ta xét điều kiện để hai mặt phẳng và song song hoặc vuông góc với nhau.

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.10.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ta nhận thấy hai mặt phẳng và song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến và của chúng cùng phương (h.3.10).

Khi đó ta có: .

Nếu D1 = kD2 thì ta có trùng với .

Nếu D1 ≠ kD2 thì song song với .

Vậy suy ra:

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.11.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 3) và song song với mặt phẳng : 2x – 3y + z + 5 = 0.

Giải:

Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng nên có vectơ pháp tuyến = (2; -3; 1). Mặt phẳng đi qua điểm M(1 ; -2 ; 3), vậy có phương trình:

2(x – 1) – 3(y + 2) 1(z – 3) = 0 hay 2x – 3y + z – 11 = 0.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.12.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ta nhận thấy hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vecto pháp tuyến và tương ứng của chúng vuông góc với nhau (h.3.12).

Vậy ta có điều kiện:

Ví dụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(3 ; 1 ; -1). B(2 ; - 1; 4) và vuông góc với mặt phẳng có phương trình: 2x – y + 3z – 1 = 0.

Giải:

Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên là:

Do đó mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến:

Vậy phương trình của là:

–1 (x – 3) + 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0 x – 13y – 5z + 5 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng , kí hiệu là d(M₀, ), được tính theo công thức:

Chứng minh: Gọi M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (h.3.13).

Tải trực tiếp tệp hình học động ( Nhấn chuột phải vào liên kết rồi chọn Save As):L12cb_Ch3_h3.13.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ và từ điểm M(1 ; -2 ; 13) đến mặt phẳng : 2x – 2y – z + 3 = 0.

Giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách ở trên ta có:

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và (β) cho bởi các phương trình sau đây:

: x + 2y + 2z + 11 = 0

: x + 2y + 2z + 2 = 0.

Giải: Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

Ta lấy điểm M(0 ; 0 ; -1) thuộc , kí hiệu d(, ) là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và, ta có:

?7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và (β) cho bởi phương trình sau đây:

: x – 2 = 0

: x – 8 = 0.

Bài tập

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

1. Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1 ; -2 ; 4) và nhận = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm A(0 ; -1; 2) và song song với giá của mỗi vectơ ;

2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; 3; 7), B(4 ; 1 3).

3. a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2 ; 6 ; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ.

4. Lập phương trình của mặt phẳng:

a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1; 2)

b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4; -3)

c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4; 7)

5. Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ;4 ), D(4 ; 0 ; 6).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

6. Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2 ; - 1; 2) và song song với mặt phẳng : 2x – y + 3z + 4 = 0.

7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1 ; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng : 2x – y + z – 7 = 0.

8. Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) 2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 = 0;

b) 3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0.

9. Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; - 3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0;

b) 12x – 5z + 5 = 0;

c) x = 0.

10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Schoolnet