1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian, khi đó có thể xảy ra hai trường hợp
a) Có mặt phẳng chứa cả a và b. Theo kết quả của hình học phẳng ta có 3 khả năng xảy ra:
i. a và b không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng a và b song song với nhau và ký hiệu a//b
Hình 15abc. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên mặt phẳng.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Trên mỗi đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển chuyển động. Nháy và kéo rê các điểm này sẽ làm cho các đường thẳng chuyển động trên mặt phẳng. Quan sát các vị trí khác nhau của a, b để thu được 3 vị trí khác nhau giữa hai đường này: trùng nhau, song song và giao nhau.
Có thể dịch chuyển trực tiếp đường thẳng bằng cách di chuột trên đường thẳng này
ii. a và b có 1 điểm chung M duy nhất. Ta nói rằng chúng cắt nhau tại điểm chung đó và ký hiệu a ∩ b =M
iii) a và b trùng nhau, ký hiệu là a ≡ b
b) Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, tức là hai đường thẳng a, b không đồng phẳng. Trong trường hợp này ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo nhau
Hình 15 (d). Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Trên mỗi đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển chuyển động. Nháy và kéo rê các điểm này sẽ làm cho các đường thẳng này chuyển động. b luôn chuyển dịch trên mặt phẳng nằm ngang. a sẽ chuyển động tự do trong không gian
Như vậy ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung
2. Các tính chất
Định lý 1: Qua một điểm A cho trước không nằm trên một đường thẳng b cho trước, có một và chỉ một đường thẳng a song song với b
Chứng minh: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và b
Hình 16. Minh họa cho định lý 1.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Đường thẳng a luôn song song với b. Dịch chuyển điểm A trên mặt phẳng để quan sát. Trên b cũng có một điểm (màu đỏ) dùng để điều khiển đường thẳng này.
Theo tiên đề ơlit trong hình học phẳng thì trong (P) có duy nhất đường thẳng a đi qua A và song song với b. Hiển nhiên nếu một đường thẳng đi qua A và không nằm trên (P) thì không thể song song với b. Vậy đường thẳng a là duy nhất.
Định lý 2 (về giao tuyến của 3 mặt phẳng)
Nếu 3 mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Chứng minh: Giả sử ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt trong đó a = (P) ∩ (Q), b = (P) ∩ (R), c = (Q) ∩ (R)
Hình 17ab. Minh họa cho định lý 2.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Trên các đường thẳng a, b đều có hai điểm (màu đỏ) dùng làm điểm điều khiển. Dùng chuột dịch chuyển các điểm này sẽ làm cho a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Dịch chuyển các đường thẳng này để quan sát các mặt phẳng Q, R thay đổi. Quan sát hai vị trí khác nhau của a, b: giao nhau và song song. Trên đường thẳng c cũng có 1 điểm điều khiển. Dịch chuyển điểm này trong không gian sẽ quan sát được sự thay đổi của Q, R trong không gian và giao điểm của chúng với P.
Có hai trường hợp:
Nếu hai trong ba giao tuyến cắt nhau : chẳng hạn a và b cắt nhau tại O, thì vì O nằm trên b nên O nằm trên (R). Mặt khác vì O nằm trên a nên O nằm trên (Q). Vậy O phải nằm trên giao tuyến c của (R) và (Q) nghĩa là ba giao tuyến a, b, c đồng quy
Nếu hai trong ba giao tuyến đó song song: chẳng hạn a//b, khi đó a và c không thể cắt nhau, b và c không thể cắt nhau vì nếu chúng cắt nhau ta trở về trường hợp a, b, c đồng quy ở trên. Do đó a//c và b//c
Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đưởng thẳng đó.
Chứng minh : Giả sử a, b là hai đường thẳng song song, (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt đi qua a và b
Hình 18. Minh họa cho hệ quả 1.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
A, B là hai điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng a, b. Ta sẽ thấy các đường a, b luôn song song với đường thẳng c.
Điểm A’ dùng để điều khiển thay đổi của đường thẳng a trong không gian.
Trên mặt phẳng nằm ngang (trong suốt) còn có 2 điểm điều khiển nữa. Các điểm này kết hợp với A, B dùng để điều khiển sự thay đổi vị trí của các mặt phẳng đi qua a và b
Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q). Hai đường thẳng a và b cùng nằm trên mặt phẳng (K). Như vậy ba mặt phẳng (P), (Q), (K) cắt nhau đôi một theo các giao tuyến a, b, c. Vì a // b nên theo định lý 2, c // a, và c // b.
Định lý 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Chứng minh: Giả sử b // a và c // a. Ta cần chứng minh b // c
Hình 19. Minh họa cho định lý 3.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Điểm giao của b, c với mặt phẳng nằm ngang chính là các điểm điều khiển chuyển động của các đường thẳng b, c. Muốn dịch chuyển a hãy kéo thả chuột trực tiếp trên đường thẳng này
Gọi (P) là mặt phẳng chứa a và c.
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau thì theo kết quả của hình học phẳng ta có ngay b//c.
Nếu (P) và (Q) phân biệt, ta lấy một điểm M trên đường thẳng c và gọi (R) là mặt phẳng xác định bởi b và M. Mặt phẳng (R) sẽ cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến c’ đi qua M. Vậy ba mặt phẳng (P), (Q), (R) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c’. Vì a // b nên theo định lý 2 ta có c’ // a và c’ // b. Vì c’ // a nên c’ trùng với c. Do đó c // b.
3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB.
a) Chứng minh HK // CD.
b) Cho điểm M nằm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (HKM) và (SCD)
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Giải:
a) Vì HK là đường trung bình của tam giác SAB nên ta có HK//AB. Theo giả thiết ta có AB//CD. Theo định lý 3 hai đương thẳng HK và CD cùng song song với đường thẳng AB nên ta có HK//CD
Hình 20. Hình vẽ cho Ví dụ 1.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Các điểm B, C, D có thể dịch chuyển tự do trong mặt phẳng nằm ngang. Điểm S chuyển động tự do trong không gian. Các điểm và đường còn lại phụ thuộc vào 4 điểm vừa nêu.
b) Hai mặt phẳng (HKM) và (SCD) có một điểm chung là M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song là HK và CD nên giao tuyến của chúng là đường thẳng Mx đi qua M và song song với CD.
c) Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có S là một điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song AB và CD. Vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng d đi qua S và song song với AB (và song song với CD).
Ví dụ 2: cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, CD, AD, BC. Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng qui tại điểm G của mỗi đoạn. Người ta gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.
Giải
Hình 21. Hình vẽ cho Ví dụ 2.
(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)
Các điểm B, C, D chuyển động tự do trên mặt phẳng nằm ngang. Điểm A chuyển động tự do trong không gian. Các điểm và đường còn lại phụ thuộc vào 4 điểm đã cho .
Vì PS là đường trung bình của tam giác ABC, RQ là đường trung bình của tam giác ACD nên PS // AC, PS = ½AC và RQ // AC, RQ = ½ AC. Vậy PS = RQ và do đó PRQS là hình bình hành. Từ đó suy ra PQ và RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Chứng minh tương tự, PQ, MN cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng qui tại trung điểm G của mỗi đoạn.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Các mênh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
c) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
d) Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
2. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có hay không hai đường thẳng p,q song song với nhau và mỗi đường đều cắt cả a và b?
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:
a) (SAB) và (SCD)
b) ( SAD) và (SBC).
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
5. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh bên AD nếu:
a) PR // AC
b) PR cắt AC
6. Cho hình tứ diện ABCD với P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR= 2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mặt phẳng (PQR). Chứng minh rằng AS =2SD.
7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
a) Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD. Phát biểu kết luận tương tự đối với các đường thẳng BG, CG và DG.
b) Chứng minh GA= 3GA’
School@net
|
Tìm kiếm
Xem giỏ hàng
Khách: 10
Thành viên: 0
Tổng cộng: 10
Bài 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
