Hình 109. Hình cầu ngoại tiếp hình chóp.


Đỉnh S chuyển động tự do trên mặt cầu. Tâm của tứ diện A1A2A3A4 chuyển động tự do trên đường thẳng d. Dịch chuyển các điểm này để quan sát sự chuyển động của hình chóp SA1A2A3A4.
Hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh – mặt phẳng chuẩn này có trong mọi hình của chương này).
Dịch chuyển điểm O theo phương thẳng đứng đề quan sát các vị trí tương đối giữa hình cầu và mặt phẳng chuẩn. Dịch chuyển đoạn thẳng R trên mặt phẳng màu xanh để làm thay đổi bán kính R của hình cầu.
Hình 110. Hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.


Điểm I chuyển động tự do trên đường thằng d. Dịch chuyển I và các đỉnh trên của hình lăng trụ để quan sát.
Hình cầu được xác định bởi tâm O và bán kinh R. Tâm O chuyển động tự do trong không gian. Bán kính R là độ dài đoạn thẳng cho trước trên một mặt phẳng chuẩn (màu xanh – mặt phẳng chuẩn này có trong mọi hình của chương này).
Dịch chuyển điểm O theo phương thẳng đứng đề quan sát các vị trí tương đối giữa hình cầu và mặt phẳng chuẩn. Dịch chuyển đoạn thẳng R trên mặt phẳng màu xanh để làm thay đổi bán kính R của hình cầu.
2. Các ví dụ
Ví dụ. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc φ. Xác định tâm và tínhd bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gọi O là tâm của tam gíac đều ABC; do S. ABC là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABC)
Hình 111. Minh họa cho ví dụ 1.


Chú ý quan sát số đo góc SNA chính là góc giữa các mặt bên của tứ diện với mặt phẳng đáy. Vì O cách đều ba điểm A, B, C nên mọi điểm nằm trên đường thẳng SO đều cách đều ba điểm A, B, C.
Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại ω, ta có
ωA=ωS và do đó
ωA = ω B = ωC = ωS = R.
Vậy mặt cầu S(ω;R) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Gọi M là trung điểm của SA, tứ giác AM ωO là từ giác nội tiếp nên ta có: Sω. SO = SM. SA. Suy ra:
R=Somega; = SA²/2OS
Gọi N là trung điểm của BC ta có ON ⊥ BC và SN ⊥ BC suy ra góc SNO=ω.
Vì ABC là tam giác đều có cạnh bằng a nên

Ví dụ 2. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lựơt là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Giải
Vì SAB là tam giác vuông tại S nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là đường thẳng Mx vuông góc với mp(SAB) tại trung điểm M của cạnh huyền AB.
Khi đó Mx // SC
Hình 112. Minh họa cho ví dụ 2.


Dịch chuyển các đỉnh S, A, B, C để quan sát sự chuyển động và các số đo độ dài SA, SB, SC trên hình vẽ.
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của SC và O là giao điểm của (P) và Mx thì
OC=OS=OA=OB
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Bán kính mặt cầu là R = OB.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.
2. Hình chóp S.ABC có đường có SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3. Một hình chóp từ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. Xác định tâm và tính bán kính bán kính mặt cầu đó.
4. Chứng minh rằng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì có mặt cầu ngoại tiếp.
5. Một hình tứ diện có các cạnh đối bằng nhau. Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là trọng tâm của tứ diện và cách đều bốn mặt của tứ diện.