Trong thực tế nếu hình đa diện là những thùng chứa thì ta có thể đổ đầy miền trong của nó bằng một chất lỏng và do đó ta có thể tích của nó. Nếu khối đa diện là một khối đặc (một mẫu quạng chẳng hạn) không đến nỗi lớn quá, thì ta có thể thả nó vào một thùng chứa đầy chất lỏng, thể tích khối chất lỏng trào ra ngoài sẽ bằng thể tích khối đa diện ấy.
Trong nhiều trường hợp, cả hai phương pháp trên đây không thể thực hiện được (Chẳng hạn khối đa diện quả to). Chúng ta phải tìm cách khác. Trước hết phải nhận dạng khối đa diện đo (là khối chóp, khối lăng trụ, hay khối có thể phân chia thành khối chóp và khối lăng trụ…) sau đó đo kích thước của chúng rồi dùng một số các công thức mà tính ra thể tích.
Mục đích của chúng ta là tìm ra những công thức như vậy. Trước hết chúng ta định nghĩa thể tích là gì?
Định nghĩa. Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dương có các tính chất sau:
a) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng một 1. Khối lập phương như thế gọi là khối lập phương đơn vị.
b) Thể tích của hai khối đa diện bằng nhau thì bằng nhau. (Hai khối đa diện được gọi là bằng nhau khi chúng là ảnh của nhau qua một số phép đối xứng qua mặt phẳng)
c) Nếu một khối đa diện được phân chia thành một số hữu hạn khối đa diện thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện phân chia.
Người ta chứng minh được.
Định lý 1. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước.
Giả sử khối hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c,d. Gọi V là thể tích của khối hộp, ta có công thức: V=abc
Hình 128. Minh họa cho định lý 1 về thể tích khối hộp chữ nhật.


Các điểm A, B, A’ có thể chuyển động bằng cách di chuyển chuột tại các điểm này.
Để minh họa cho công thức tính thể tích khối hộp trên đây ta hãy xét một trường hợp cụ thể khi a, b,c đều là số nguyên.
Giả sử ta có khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=a, AD=b, AA’=c
Ta chia đáy A’B’C’D’ của khối thành các ô vuông có cạnh là đơn vị dài. Trên mỗi ô vuông ấy ta đặt một khối lập phương đơn vị. Như vậy các khối lập phương này được xếp kín và cạnh nhau lập thành một tầng chứa ab khối lập phương đơn vị. Vì chiều cao của khối hộp chữ nhật là c đơn vị dài nên ta xếp được c tầng thì vừa đủ để chiếm hết thể tích khối hộp. Như vậy khối hộp chữ nhật đã được phân chia thành abc khối lập phương đơn vị nên thể tích của khối hộp là V=abc
Hệ quả. Thể tích V của một khối lập phương có cạnh a bằng a3
Ta có V=a³
Dựa vào kết quả trên người ta chứng minh được
Định lý 2. Thể tích của một khối chóp tam giác. Bằng một phần ba tích của diện tích B của đáy và chiều cao
V=1/3B.h
Hình 129. Minh họa cho định lý 2.


Các điểm A, B, C chuyển động tự do trên mặt phẳng. Điểm S chuyển động tự do trong không gian.
2. Thể tích của khối lăng trụ
Định lý 3. Thể tích của một khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.
V=B.h
Chứng minh. Trước hết ta xét khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có B1 là diện tích đáy, h là chiều cao và V1 là thể tích. Theo định nghĩa, ta có thể tích của khối chóp tam giác C’.ABC bằng
VC’.ABC=1/3B1.h
Hình 130. Minh họa cho định lý 3.


Độ cao và hướng của hình lăng trụ được xác định bởi vector nằm bên trái hình vẽ. Có thể dịch chuyển vector này để quan sát khối hình lăng trụ.
Do mặt bên của lăng trụ là những hình bình hành nên ta có: diện tích tam giác BB’C’ bằng diện tích tam giác CC’B và hai khoảng cách từ A và A’ đến mp(BB’C’C) là bằng nhau, suy ra:
Thetich(A.BCC’)= Thetich(A’.B’C’C)
Tương tự Thetich(C’.AA’B)= Thetich(C’.BB’A’)
Vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được phân chia thành 3 khối chóp tam giác có thể tích bằng nhau và bằng 1/3B1.h.
Suy ra: V1=B1.h
Hình 131. Minh họa tiếp theo cho định lý 3 cho khối lăng trụ bất kỳ.


Độ cao và hướng của hình lăng trụ được xác định bởi vector nằm bên trái hình vẽ. Có thể dịch chuyển vector này để quan sát khối hình lăng trụ.
Đối với một khối lăng trụ n – tam giác bất kỳ, ta luôn luôn có thể chia thành (n-2) lăng trụ tam giác có cùng chiều cao h (hình.131) và có diện tích đáy lần lượt là B1, B2, …Bn-2. Suy ra theo tính chất công thể tích ta có thể tích V của lăng trụ là:
V=B1.h+B1.h+..+Bn-2.h
⇒ V=(…).h
Nhưng nếu gọi B là diện tích đáy của lăng trụ thì ta có:
B=B1+B2+…+B2-n Vậy V=B.h
3. Thể tích của khối chóp
Định lý 4. Thể tích của một khối chóp bất kỳ bằng 1/3 tích số của diện tích đáy và chiều cao V=1/3B.h
Chứng minh. Tương tự như khối lăng trụ, mỗi khối chóp n – giác luôn luôn có thể phân chia thành n-2 khối chóp tam giác có chiều cao bằng chiều cao hình chóp đã cho (H.132). Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh
Hình 132. Minh họa cho định lý 4.


Đỉnh S có thể chuyển động tự do trong không gian. Các đỉnh của đa giác đáy chuyển động tự do trong mặt phẳng này.
4. Thể tích khối chóp cụt
Định lý 5. Nếu khối chóp cụt có chiều cao h và có diện tích 2 đấy là B1 và B2 thì thể tích V của nó là:
V= 1/3h(B1 + B2 + (B1B2)½)
Chứng minh: Gọi h1 và h2 lần là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp đến đáy lớn và đáy nhỏ của khối chóp cụt.
Hình 133. Minh họa cho định lý 5.


Tâm của đáy trên có thể dịch chuyển theo phương thẳng đứng.
Ta có thể tích khối chóp cụt là: V=1/3B1h1 – 1/3 B2h2;
Do 2 đáy là 2 đa giác đồng dạng có tỉ số đồng hạng là h1/h2 nên ta có
B1/B2=(h1/h2)²
⇒ (B1/B2))½= h1/h2
⇒ h1/B1½ = h2/B2½ =(h1 – h2)/(B1½ - B2½)= h/(B1½ - B2½)
⇒ h1 = hB1½/B1½ - B2½, h2= hB2½/(B1½-B2½)
Vậy V = 1/3 B1.h B1½/(B1½ - B2½)- 1/3 B2.h.B2½/(B1½- B2½)

5. Ví dụ
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB’C’ là hình thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC’C’ hợp với đáy 1 góc α. Tính thể tích của lăng trụ.
Giải.
Hình 134. Minh họa cho ví dụ.


Chú ý điểm S dùng để điều khiển để quan sát độ nghiêng của khối lăng trụ. Dịch chuyển điểm S để quan sát sự thay đổi góc giữa mặt bên ACC’A’ với mặt phẳng đáy.
Gọi H là hình chiếu của A’ xuống AB.
Ta có mp(AA’BB’)⊥ mp(ABC) nên A’H ⊥ (ABC).
AH ⊥ AC ⇒ AA’ ⊥ AC ⇒ gocA’AH = α
Ta có h=A’H = AA’sinα = asinα

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là
V=Bh=1/2a².asinα, V=1/2a³sinα

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1. Nếu 3 kích thước của khối chữ nhật được tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?
2. Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là 1 tam giác vuông tại A, AC = b, góc ACB = 60º
a. Tính thể tích của khối lăng trụ
b. Chứng minh BCB’C’ là một hình chữ nhật
c. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ (tổng này thường gọi là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho)
4. Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
a. Biết AB=a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α, tính thể tích khối chóp
b. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng φ , tính thể tích của khối chóp.
6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
a. Biết AB=a và SA=l, tính thể tích của khối chóp
b. Biết SA =l và góc giữa mặt bên và đáy băng α tính thể tích của khối chóp
7. Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc của đường cao với mặt bên là 30º
a. Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp cụt (tổng này thường được gọi là diện tích toàn phần của hình chóp cụt đã cho)
b. Tính thể tích khối chóp cụt
8. Một khối chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy là a và b (a>b). Tính thể tích khối chóp cụt đó biết rằng diện tích xung quanh hình chóp cụt bằng tổng diện tích 2 đáy