Trong toán học, chúng ta bắt gặp rất nhiều trong sách giáo khoa và sách tham khảo bài toán sau :

Bài toán 1: Một người đi từ nhà ra bờ một con sông thẳng để múc một xô nước rồi mang về kho ở cùng một bên bờ sông của ngôi nhà đó. Tìm một điểm trên bờ sông để khoảng cách người đó phải đi là ngắn nhất.

Nhân dịp năm con trâu, chúng ta hãy cùng nhau vui cùng bài toán cổ về họ nhà Sửu nhé. Bài toán: Một trăm bó cỏ, một trăm con trâu. Trâu đứng ăn 5 (bó cỏ), trâu nằm ăn 3. Lụi cụi trâu già ...Ba con một bó. Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng,trâu nằm và trâu già?

Trong mỗi ngôn ngữ lập trình thường có một số kiểu dữ liệu chuẩn cho biết phạm vi giá trị có thể lưu trữ, dung lượng bộ nhớ cần thiết để lưu trữ và xác định các phép toán có thể tác động lên dữ liệu.

Và trong TP, một số kiểu dữ liệu dạng số như kiểu số nguyên (bao gồm kiểu: byte, integer, word, login) trong đó kiểu logint (có phạm vi lớn nhất): mỗi giá trị lưu giữ trong 4 byte, giá trị biến kiểu này nằm trong phạm vi từ - 2­³¹ đến 2³¹-1 tức là từ (-2147483648 đến 2147483647) nên chỉ cho phép biến lưu giữ số tối đa có 10 chữ số.

Bài toán tô màu rất quen thuộc với tất cả các bạn. Mà bài toán điển hình chính là bài toán 4 màu được phát biểu như sau : Mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có thể tô bằng 4 màu sao cho không có hai nước láng giềng nào lại bị tô cùng 1 màu. Vậy chúng ta sẽ mở rộng bài toán trên thành một bài toán tổng quát mà hầu hết chúng ta đều đã quen thuộc :

Bài toán: Cho hàm f xác định (N⁺ , N⁺ ) được xác định như sau:

f(n) =1, với n lẻ

k, nếu n = 2^k.t ( với k nguyên dương, t lẻ)

Tìm số n lớn nhất sao cho:

f(1) + f(2) + … + f(n) ≤ 123456

Cho N sinh viên( N<=12 ) và N vấn đề cần nghiên cứu. Mỗi sinh viên sẽ hứng thú với 1 số vấn đề, và khi sinh viên được giao vấn đề họ thích thì họ sẽ làm việc hiệu quả hơn rất nhiều. Ngài giáo sư đáng kính của chúng ta muốn biết có bao nhiêu cách ghép sao cho mỗi sinh viên sẽ giải quyết 1 vấn đề mà họ thích.

Ta biết rằng ở trên máy vi tính đối với một số ngôn ngữ lập trình, số nguyên dương n có giới hạn n < 32768 vì vậy, việc tính toán trên số nguyên ngoài giới hạn trên không thể thực hiện được nhờ các phép toán của máy tính. Chúng ta có thể khắc phục bằng cách biểu diễn số nguyên dưới dạng các ký tự thông qua nã ASCII của nó.

Các bài toán liên quan đến việc tìm phần giao và hợp của các đối tượng hình học phẳng như đa giác, đường tròn... thường là các bài toán khá hay và để tìm ra lời giải tối ưu thì đòi hỏi người lập trình phải có tư duy tốt về toán học. Đặc biệt, tìm giao hai đa giác là một trong những bài toán cơ sở của hình học tính toán và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của đồ hoạ máy tính, CAD, GIS,...Chúng ta sẽ nghiên cứu một vài thuật toán qua các ví dụ dưới đây.

Bài toán 1: Trên bàn cờ Quốc tế 8x8, cho 8 con hậu. Mỗi con hậu có thể khống chế (ăn) được tất cả các con hậu khác nằm trên cùng hàng, cùng cột, hoặc trên hai đường chéo đi qua vị trí của nó. Viết chương trình tính số các thế cờ chỉ gồm 8 con hậu trên bàn cờ sao cho không có hai con hậu nào có thể khống chế (ăn) được nhau.

Lịch sử phát triển của loài người đã cho thấy rằng, con người luôn mong muốn tìm ra những phương pháp và công cụ, để phục vụ cho công việc tính toán đầy “cực khổ” của mình. Và con người đã thực sự đạt được những thành tựu to lớn. Nhà toán học người Pháp Laplace đã nói rằng: “việc phát minh ra Lôgarit (bảng Lôgarit) đã kéo dài tuổi thọ của các nhà tính toán”. Nhưng mãi cho đến khi phát minh ra máy tính điện tử, con người mới thật sự có được một công cụ hỗ trợ tính toán đắc lực và hiệu quả. Ngày nay hầu hết các công việc tính toán phức tạp trong khoa học kỹ thuật đều do máy tính đảm nhiệm. Do đó việc tìm ra và cài đặt cho máy tính những thuật toán tốt là một yêu cầu thực tế. Một trong những tính toán cơ bản và hay gặp là giải hệ phương trình tuyến tính (HPTTT).

Cứ vào mỗi đợt thi Đại học, chúng ta lại có nhiều điều phải bàn. Ẩn chứa trong những cách giải, đó là những cách thức tiếp cận khác nhau. Có cách giải được tiếp cận hoàn toán bằng phương pháp Toán học nhưng cũng có những cách giải lại được hoàn toàn tiếp cận bằng phương pháp Tin học. Lập trình ngày nay đã được Bộ giáo dục đưa vào chương trình giảng dạy ở bậc phổ thông. Chính vì thế nó đã được coi là một phương pháp trong tiếp cận các bài toán nếu có thể. Hy vọng với cách nhìn bằng phương pháp lập trình dưới nhiều dạng khac nhau sẽ đem đến cho chúng ta nhiều điều hay và thú vị.

Khoảng cách giữa các điểm thường được xét trong các bài toán hình học. Đã có rất nhiều ứng dụng của một bài toán quen thuộc “tìm láng giềng gần nhất: Tìm điểm gần nhất của một điểm cho trước trong một tập cho trước”. Thông thường, để giải quyết bài toán trên có lẽ hướng thông dụng nhất là kiểm tra khoảng cách giữa điểm được cho với mỗi điểm trong tập điểm đã cho, nhưng có những cách giải quyết tốt hơn. Ở đây, tôi xin đưa ra và cùng các bạn xem xét một bài toán khác về khoảng cách, một thuật toán mẫu được dùng có hiệu quả trong các biến thể của các bài toán như vậy. Cách tiếp cận của chúng ta là sẽ thảo luận một phương pháp tổng quát để giải các bài toán điểm gần nhất thông qua việc xem xét kỹ lưỡng một cài đặt mẫu giải quyết một bài toán đơn giản.

“Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nâng cả trái đất lên” - Archimède. Lý thuyết tập hợp được đưa ra bởi George Cantor năm 1895, thực sự là một “điểm tựa” như thế của toán học hiện đại. Lý thuyết tập hợp là cơ sở tuyệt vời cho việc giải quyết sự khủng hoảng của giải tích toán học, hơn thế nó cung cấp một nền tảng thống nhất cho việc xây dựng, và phát triển hầu như toàn bộ các ngành toán học khác. Thật không sai khi nói: “George Cantor là nhà toán học xuất sắc nhất thế kỷ, và của mọi thế kỷ” - David Hilbert. Khái niệm tập hợp được hiểu như là nhóm của các đối tượng không được sắp thứ tự gọi là phần tử. Trong tin học tập hợp được biết đến như là một cấu trúc dữ liệu trừu tượng cơ bản, góp phần xây dựng nên nhiều cấu trúc phức tạp khác như từ điển, hàng ưu tiên..., và là nền tảng của nhiều thuật toán quan trọng.

Đây là bài viết mà tôi tin chắc rằng tất cả các viện nghiên cứu phần mềm hình học động trên toàn thế giới đều rất quan tâm. Và rằng, tôi biết rõ giá trị thương mại rất lớn của bài viết. Nhưng cũng như trong bài 1 của loạt các bài báo này, tôi xin khẳng định, tôi là người tận hiến cho khoa học. Tôi không sử dụng khoa học cho bất cứ mục đích cá nhân gì. Lẽ dĩ nhiên, khi tôi công bố bài viết này cho các bạn mà không có bất cứ tạp chí nào công bố, thì tôi có quyền khẳng định, tôi là người đầu tiên biết chúng. Đó là cái quyền không ai có thể chối cãi được !

Đây là bài viết cuối cùng trong loạt bài viết về bí mật phần mềm hình học động. Những kĩ thuật tuy đơn giản nhưng không phải là dễ tìm. Tác giả đã mất nhiều thời gian cho việc tìm ra các kĩ thuật này. Xin được chia sẽ với bạn đọc.

Có lẽ các bạn đã từng biết đến thuật toán tìm số nguyên tố nổi tiếng này. Ngay từ lúc ra đời, nó đã được mọi người thừa nhận là “một công thức thần diệu”. Sở dĩ có được điều đó là do nó cho phép xác định chính xác những số nguyên tố lên tới hàng trăm chữ số với thời gian tương đối ngắn . Thuật toán này lại bắt nguồn từ việc nghiên cứu một định lý rất đỗi quen thuộc trong toán học, định lý nhỏ Fermat

Tiếp theo bài Quĩ tích trong hình học không gian với phần mềm Cabri 3D – các bài toán lớp 11, xin gới thiệu một số bài toán lớp 12. Để xem hình động trong phần mềm CABRI, bạn nhắp: Window , Animation, Start Animation.

Giải biện luận là một bài toán khó đối với học sinh phổ thông. Không it bạn học sinh gặp khó khăn trong giải bài toán bằng phương pháp đại số. Giải bài toán biện luận bằng phương pháp đồ thị là một lựa chọn tốt, giúp chúng ta có cái nhìn trực quan, giải bài toán một cách chắc chắn, rõ rang. Phần mềm Autograph sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này. Trong bài viết này, tôi xin trình bày giải bài toán biện luận bằng đồ thị nhờ phần mềm Autograph.

Tôi đã giới thiệu với các bạn những điều quan trọng của phép dựng elip, hyperbol. Tôi xin giới thiệu tiếp với các bạn cơ sở toán của phép dựng parabol. Đây là điều tối quan trọng khi làm việc với parabol. Ta sẽ tìm hiểu cơ sở toán của phép dựng parabol khi đi đến với cách giải sau:

Chúng ta đã làm việc với cơ sở toán của elip. Bài viết này xin được tiếp tục giới thiệu với các bạn cơ sở toán của phép dựng hyperbol. Cũng như elip, hyperbol là conic có tâm. Một số định nghĩa như sau : “Hyperbol là quỹ tích tâm các đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cố định (F’) và đi qua một điểm F ở ngoài đường tròn đó. F và F’ gọi là tiêu điểm”.