Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.schoolnet.vn
Chương 2 - BÀI 3: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
10/04/2007

1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, ký hiệu (P) // (Q) hoặc (Q) // (P)

2. Các tính chất

Định lý 1: nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì một đường thẳng a nằm trong (P) đều song song với (Q)


Chứng minh: Gọi a là một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng a không thể có điểm chung với mặt phẳng (Q) vì nếu có thì điểm chung ấy là điểm chung của (P) và (Q). Điều đó trái với giả thiết là (P) // (Q). Vậy (P) // (Q)

Hình 28. Minh họa cho định lý 1.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng a chuyển động tự do trên mặt phẳng P và xác định bởi 2 điểm điều khiển.

Định lý 2: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một mặt phẳng (Q) cho trước thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.

Chứng minh:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) không thể trùng nhau vì (P) chứa a mà a//(Q). Vậy (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt. Nếu (P) và (Q) cắt nhau theo một giao tuyến c thì khi đó theo định lý 2, bài 2 ta có a//c và b//c. Do đó ta suy ra a//b là trái giả thiết .

Vậy (P) và (Q) không cắt nhau, nên ta có (P) // (Q)

Hình 29. Minh họa cho định lý 2.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Hai đường thẳng a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Mỗi đường thẳng được xác định bởi 2 điểm điều khiển (màu đỏ).

Định lý 3: Qua một điểm A bất kì cho trước không nằm trên mặt phẳng (P) cho trước có một và chỉ một mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P).

Chứng minh: Trong mặt phẳng (P) ta lấy hai đường thẳng a, b cắt nhau

Hình 30. Minh họa cho định lý 3.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Hai đường thẳng a, b chuyển động tự do trên mặt phẳng P. Mỗi đường thẳng được xác định bởi 2 điểm điều khiển (màu đỏ). Điểm A chuyển động tự do trên

Q. Các đường thẳng a’, b’ đi qua A và song song với a, b tương ứng.

Gọi a’, b’ là hai đường thẳng đi qua A lần lượt song song với a, b. Theo định lý 2 bài 3 mặt phẳng (Q) đi qua a’, b’ sẽ song song với (P). Giả sử còn mặt phẳng (Q’) đi qua A và song song với (P). Khi đó vì (Q) và (Q’) cùng đi qua A và cùng song song với a nên giao tuyến đó chính là a’ do đó a’ nằm trên (Q’). Lập luận tương tự b’ cũng nằm trên (Q’). Vậy (Q’) trùng với (Q) và (Q) là duy nhất.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (Q) song song với (P).

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Thật vậy nếu (P) // (Q) và (Q’) // (P) mà (Q) và (Q’) phân biệt thì (Q) // (Q’); vì nếu (Q) và (Q’) cắt nhau theo một giao tuyến a’ thì từ một điểm A trên a’ ta lại có hai mặt phẳng (Q) và (Q’) cùng song song với (P) là trái với định lý 3

Hình 31. Minh họa cho Hệ quả 2, định lý 3.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Hai mặt phẳng P, Q có thể dịch chuyển theo chiều thẳng đứng và được điều khiển bởi 2 điểm màu đỏ bên trái.

Hệ quả 3: Nếu từ một điểm A nằm ngoài một mặt phẳng (P), ta có một đường thẳng a’ song song với (P), thì đường thẳng a’ này nằm trong mặt phẳng (Q) qua A và song song với mặt phẳng (P).

Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (S) đã cắt (P) đều phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

Chứng minh: Giả sử (P) //(Q). Nếu (S) cắt (P) theo giao tuyến a mà (S) không cắt (Q) thì qua a có hai mặt phẳng (P) và (S) phân biệt và cùng song song với (Q) là trái với hệ quả 1. Vậy mặt phẳng (S) phải cắt (Q) theo giao tuyến b nào đó. Như vậy a và b cùng thuộc một mặt phẳng (S). Nếu a và b có điểm chung thì đó cũng là điểm chung của (P) và (Q). Điều này trái với giả thiết là (P) // (Q). Do a, b đồng phẳng và không có điểm chung nên a//b

Hình 32. Minh họa cho định lý 4.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Mặt phẳng S xác định bởi đường thẳng a trên P và một điểm trên Q. Đường thẳng a xác định bởi 2 điểm điều khiển. Mặt phẳng P có thể dịch chuyển theo chiều thẳng đứng.

CÂU HỎI VÀ BÀI TÂP

1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? mệnh đề nào sai?

a) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (P) đều song song với (Q).

b) Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (P) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (Q).

c) Nếu hai đường thẳng a và b song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì (P) // (Q).

2. Chứng minh rằng:

a) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

b) Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.

3. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. chứng minh rằng có một cặp mặt phẳng duy nhất song song với nhau, mỗi mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng đó.

4. Cho điểm O nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi điểm M là một điểm thay đổi trên (P). Tìm quỹ tích các trung điểm M’của đoạn thẳng OM.

5. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ 4 đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (P). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ tuỳ ý.

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mp(A’B’C’).

b) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

6. Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng a’ cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’.

Chứng minh rằng: AB/CB= A’B’/B’C’
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=825
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn