Chương 2 - BÀI 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
18/04/2007

1. Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng (P) và một đường thẳng l không song song với mp(P).

Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song với l sẽ cắt (P) tại điểm M' xác định. Điểm M' được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (P) theo phương l


Hình 37. Phép chiếu song song.

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng l được xác định bởi 2 điểm chuyển động tự do trong không gian. Điểm M chuyển động tự do trong không gian. M’ là hình chiếu song song của M theo phương của đường thẳng l.

Mặt phẳng P được điều khiển bởi một điểm (màu đỏ).

Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.

Nếu H là một hình nào đó thì hình chiếu M' của tất cả những điểm M thuộc H sẽ làm thành một hình H' nằm trên (P). Hình H' được gọi là hình chiếu của hình H qua phép chiếu song song nói trên.

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng nếu đường thẳng a // l thì hình chiếu của a (hoặc một phần của a) là một điểm trên mp(P). Bởi vậy trong các tính chất được chứng minh dưới đây ta chỉ xét hình chiếu của các đoạn thẳng hay đường thẳng không song song với l.

2. Các tính chất của phép chiếu song song

Định lý 1. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Chứng minh. Giả sử A', B', C' lần lượt là hình chiếu song song của ba điểm A, B, C trên mặt phẳng (P) theo phương l

Hình 38. Minh họa cho định lý 1

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các điểm A, C chuyển động tự do trong không gian. Điểm B chuyển động trên đường thẳng AC. Dịch chuyển các điểm A, B, C để quan sát hình và kiểm tra tính đúng đắn của định lý

Khi đó AA'//BB'//CC'. Bởi vậy nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng nằm trong mặt phẳng (Q) và do đó A, B' C' nằm trên giao tuyến của mp(Q) và mp(P) nên A', B', C nằm trên giao tuyến của mp(Q) và mp(P) nên A', B', C' thẳng hàng.

Hiển nhiên nếu B ở giữa A và C thì B’ cũng ở giữa A’ và C’. Đặc biệt nếu b là trung điểm của đoạn A thì B’ là trung điểm của A’C’.

Hệ quả. Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, của tia là tia, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

Định lý 2. Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Chứng minh. Giả sử a và b là hai đường song song. Khi đó hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt đi qua a và b, song song với phương chiếu l sẽ song song với nhau hoặc trùng nhau

Hình 39. Minh họa cho định lý 2

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng a được xác định bởi điểm A và một điểm chuyển động tự do trong không gian. Điểm B chuyển động tự do trong không gian. Đường thẳng b luôn song song với đường thẳng a.

Dịch chuyển B trong không gian để quan sát tính đúng đắn của định lý.

Hai mặt phẳng (P) và (Q) này sẽ cắt mặt phẳng chiếu (P) theo hai giao tuyến a’ và b’ hoặc song song hoặc trùng nhau.

Vì a’ và b’ lần lượt là hình chiếu của a và b nên định lý đã được chứng minh.

Hệ quả. Hình chiếu song song của một hình bình hành không nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu là một hình bình hành.

Định lý 3. phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh. Giả sử AB và CD là hai đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng lần lượt có hình chiếu song song trên mặt phẳng (P) là A’B’ và C’D’. Ta phải chứng minh:

a) Nếu AB và CD cùng nằm trên đường thẳng a thì A’B’ và C’D’ cùng nằm trên đường thẳng a’ là hình chiếu của a. Khi đó trong mặt phẳng (a, a’) theo định lý Talet của hình học phẳng ta có

.

Hình 40. Minh họa cho trường hợp 1, định lý 3

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Đường thẳng a xác định bởi hai điểm A và D. Các điểm B, C chuyển động tự do trên a. Dịch chuyển B, C để quan sát các tỷ lệ. Dịch chuyển A, D để quan sát toàn bộ hình.

b) Nếu AB//CD thì hoặc A’B’//C’D’ hoặc A’B’ và C’D’ cùng nằm trên một đường thẳng:

- Trường hợp A’B’//C’D’: Trên đường thẳng AB ta lấy điểm M sao cho ACDM là một hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm M là M’ sẽ nằm trên đường thẳng A’B’ và khi đó ta có:

Nhưng A’C’D’M’ cùng là hình bình hành nên A’M’ = C’D’. Ngoài ra ta còn có AM= CD vì ACDM là hình bình hành. Do đó từ (1) ta suy ra:

Hình 41. Minh họa cho trường hợp 2, định lý 3

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các điểm A, B, C chuyển động tự do trong không gian. CD // AB. MD // AC. Dịch chuyển các điểmA, B, C để quan sát chuyển động của hình tương ứng với trường hợp đã nêu của định lý 3

- Trường hợp A’B’ và C’D’ cùng nằm trên một đường thẳng, ta lấy điểm B1 trên BB’ và D1 trên DD’ sao cho AA’B’ và CC’D’D1 là hình bình hành. Khi đó ta có AB1=A’B’, CD1= C’D’. Hai tam giác ABB1 và CDD1 có ba cạnh tương ứng song song nên ta có

Hình 42. Minh họa cho trường hợp 3, định lý 3

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Các đối tượng hình học tương tự như hình 41. Tuy nhiên vị trí của CD được chuyển dịch sao cho các điểm A’, B’, C’, D’ thẳng hàng.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng.

Trước đây ta đã có một số quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian trên một mặt phẳng. Nay ta còn biết thêm một số quy tắc nữa. Tất cả các quy tắc đó đều dựa trên định nghĩa sau đây của hình biểu diễn của một hình không gian.

Định nghĩa. Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu nào đó (hoặc hình động dạng với hình chiếu đó).

Như vậy, ngoài quy tắc đã biết chúng ta còn cần lưu ý đến quy tắc sau đây:

Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng song song (hoặc cùng nằm trên một đường thẳng) thì trên hình biểu diễn H’ của H hai đoạn thẳng đó cũng phải song song ( hoặc cùng nằm trên một đường thẳng). Ngoài ra tỷ số độ dài hai đoạn thẳng đó bằng tỉ số độ dài hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H

Tuy nhiên, cần chú ý rằng nếu trên hình H có hai đoạn thẳng không song song thì tỉ số hình chiếu của chúng nói chung không được giữ nguyên.

4. Các ví dụ về hình biểu diễn

Hình tam giác: Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì (đều, cân, vuông). Tuy nhiên cần lưư ý tới việc biểu diễn các yếu tồ đó. Thí ì dụ ABC là hình biểu diễn của một tam giác cân ( AB = CD) thì trung điểm H của đoạn BC biểu diễn cho chân đường cao AH của tam giác đó.

Hình 43. Biểu diễn hình chiếu tam giác lên mặt phẳng

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Trên hình là biểu diễn hình chiếu song song cúa một tam giác đều và một tam giác với đường cao lên cùng một mặt phẳng. Có thể tương tác làm chuyển động các tam giác gốc và phuơng của đường thẳng chiếu. Quan sát hình ảnh chiếu của các tam giác này lên mặt phẳng và đưa ra các nhận xét của mình.

Hình bình hành: Một hình bình hành ABCD có thể xem là hình biểu diễn của các loại hình bình hành như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi và hình bình hành bất kì. Tuy nhiên khi ta đã chọn hình bình hành ABCD biểu diễn cho một hình vuông thì trong mặt phẳng chứa hình bình hành hoặc các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa hình bình hành, hai đường thẳng song song với các đường AB và BC biểu diễn cho hai đường thẳng vuông góc với nhau. Các đường thẳng lần lượt song song với các cặp đường thẳng AC và BD cũng biểu thị các cặp đường thẳng vuông góc với nhau.

Hình 44. Biểu diễn hình chiếu của hình vuông, hình bình hành

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Trên hình là biểu diễn của một hình vuông và một hình bình hành lên cùng một mặt phẳng. Có thể tương tác làm chuyển động các hình gốc và phuơng của đường thẳng chiếu. Quan sát hình ảnh chiếu của các hình này lên mặt phẳng và đưa ra các nhận xét của mình.

Đường tròn: Người ta chứng mình được hình chiếu song song của một đường tròn là một đường Elip (có nhiều dạng Elip). Cần chú ý rằng khi ta đã chọn một đường Elip biểu diễn cho một đường tròn thì các bài toán có liên quan đến đường tròn như dựng hình biểu diễn tam giác đều nội, ngoại tiếp đường tròn, dựng hình biểu diễn hình vuông nội, ngoại tiếp đường tròn, cần phải chú ý vẽ cho đúng.

Hình 45. Biểu diễn hình chiếu của hình tròn lên một mặt phẳng

(Nếu không xem được hình ảnh 3D hãy kích chuột tại đây để xem từng hình cụ thể)

Hình biểu diễn hình chiếu song song của một vòng tròn lên một mặt phẳng. Tam giác ABC là hình chiếu của một tam giác vuông nội tiếp trong vòng tròn gốc. Có thể tương tác trực tiếp với vòng tròn gốc và mặt phẳng chứa vòng tròn gốc.

Hình 45 biểu diễn một tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không? Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có song song với nhau hay không?

2. Trong mặt phẳng (P) cho một tam giác ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

3. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình chiếu song song của tam giác ABC.

4. Vẽ hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

5. Hãy vẽ hình biểu diễn của một đường tròn cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó.


BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II

1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau?

b) Hai đường thẳng a, b không cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên chúng chéo nhau.

c) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.

d) Hai đường thẳng phân biệt lần lượt nằm trong hai mặt phẳng khác thì chéo nhau.

e) Một đường thẳng a song song với đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì song song với (P).

2. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

a) Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

b) Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

c) Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau.

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

e) Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cắt đường còn lại.

f) Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại.

3. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau . Trên các đường chéo AC và BF ta lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với AB cắt AD và AF lần lượt tại M’ và N’.

a) Tứ giác MNM’N’ là hình gì?

b) Chứng minh M’N’ song song với EC.

c) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (DEF).

4. Cho hai nửa đường thẳng Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Hai điểm M và N lần lượt di động trên Ax và By sao cho AM=BN. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

5. Cho tứ diện ABCD. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn luôn đi qua các trung điểm I và K của các cạnh DA và DB. Giả sử (P) cắt các cạnh CA, CB lần lượt tại M và N.

a) Tứ giác MNKI có tính chất gì? Với giá trị nào của (P) tứ giác đó là hình bình hành?

b) Gọi O là giao điểm của MI và NK. Chứng tỏ rằng điểm O luôn luôn nằm tên một đường thẳng cố định.

c) Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (OAB). Chứng minh rằng khi (P) thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định.

6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD’.

a) Xác định giao điểm Q của đoạn thẳng BB’ và mặt phẳng (MNP).

b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?

c) Tìm giao tuyến của một phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp.

7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AD và CC’ sao cho

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’).

b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mp(ACB’).
URL của bài viết này::http://www.schoolnet.vn/modules.php?name=News&file=article&sid=839