1. Định lí

Chứng minh

Ta xác định một phép biến hình F như sau: F biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho nếu

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h17.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Ta chứng minh F là phép dời hình.

Thật vậy, giả sử có thêm điểm N và F biến N thành N’, tức là nếu thì . Khi đó:

Suy ra

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

Vì hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau nên CA = C’A’ , CB = C’B’ và . Bởi vậy, ta suy ra MN = M’N’ hay F là phép dời hình. Rõ ràng phép dời hình đó biến A, B, C lần lượt thành A’, B’, C’, tức là biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

2. Thế nào là hai hình bằng nhau?

Từ định lí trên ta có thể phát biểu: “Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia”. Như vậy, khái niệm “bằng nhau” của hai tam giác có thể được định nghĩa bằng hai cách tương đương sau đây:

1) Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

2) Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia.

Đối với sự bằng nhau của các hình nói chung, người ta dùng cách định nghĩa thứ hai. Vậy ta có định nghĩa tổng quát sau đây

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

Nếu hình H₁ bằng hình H₂ và hình H₂ bằng hình H₃ thì hình H₁ bằng hình H₃.

Thật vậy, vì H₁ bằng H₂ nên có phép dời hình F biến H₁ thành H₂, vì H₂ bằng H₃ nên có phép dời hình G biến H₂ thành H₃.

Nếu ta thực hiện liên tiếp phép dời hình F và phép dời hình G thì hiển nhiên ta được phép dời hình biến H₁ thành H₃. Vậy H₁ bằng H₃.

Tải trực tiếp tệp hình học động: L11_nc_ch1_h18.ggb

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình.

Chẳng hạn, trên hình 18, hình H₁ bằng hình H₂ vì có phép tịnh tiến biến H₁ thành H₂; hình H₂ bằng hình H₃ vì có phép đối xứng trục biến H₂ thành H₃. Vậy hai hình H₁ và H₃ bằng nhau.

Có thể em chưa biết

LÁT MẶT PHẲNG

Từ xa xưa, người ta đã biết trang trí bức tường, dệt thêu thảm hoa, lát nền nhà,… bằng những hình vẽ, những viên gạch bằng nhau với các hoa văn giống nhau,…

Các mẫu hình vẽ, hoa văn, … có thể rất khác nhau nhưng người ta chứng minh được rằng thực ra chỉ có 17 cách sắp xếp lặp đi lặp lại các hình như thế để lát khắp mặt phẳng.

Nếu chỉ dùng các phép tịnh tiến và phép quay để biến một viên gạch này thành một viên gạch khác thì có 5 cách lát.

Còn nếu dùng thêm cả phép đối xứng trục thì có thêm 12 cách lát nữa.

Trong 17 cách lát trên, người ta đã tìm thấy 11 cách lát ở đền Alhambra thành phố Granada (Tây Ban Nha), 5 cách khác nhau đã tìm thấy ở châu Phi, cách còn lại cũng đã tìm thấy trong một trang trí cổ ở Trung Quốc.

Câu hỏi và bài tập

20. Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước (cùng chiều dài và chiều rộng) thì bằng nhau.

21. a) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

b) Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

c) Hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

22. Đa giác lồi n cạnh gọi là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau. Chứng tỏ rằng hai n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau.

23. Hình H₁ gồm ba đường tròn (O₁ ; r₁) , (O₂ ; r₂) và (O₃ ; r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình H₂ gồm ba đường tròn (I₁ ; r₁), (I₂ ; r₂) và (I₃ ; r₃) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình H₁ và H₂ bằng nhau.

24. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bình hành.

School@net