1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong hình học phẳng, ta đã biết hệ trục tọa độ trên mặt phẳng. Hệ đó được kí hiệu là Oxy hoặc . Bây giờ ta thiết lập hệ trục tọa độ trong không gian.

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz có chung điểm gốc O và đôi một vuông góc với nhau (h.56).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h56.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

ĐỊNH NGHĨA 1

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Thuật ngữ và kí hiệu

Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, và kí hiệu Oxyz. Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là và còn kí hiệu hệ trục tọa độ là .

Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, hoặc đơn giản là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, Oz gọi là trục cao.

Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng là mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz), hoặc đơn giản là (Oxy), (Oyz), (Oxz).

Khi không gian đã có một hệ tọa độ Oxyz thì nó được gọi là không gian tọa độ Oxyz hoặc đơn giản là không gian Oxyz.

Ta cần chú ý tới các đẳng thức sau đây :

?1Tại sao ta có các đẳng thức trên ?

2. Tọa độ của vectơ

Trong không gian tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị trên các trục cho một vectơ . Khi đó có bộ ba duy nhất (x, y, z) sao cho .

Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ Oxyz và kí hiệu . Vậy :

Hiển nhiên theo định nghĩa và kí hiệu trên, ta có

?2 Tại sao nếu vectơ có tọa độ (x, y, z) đối với hệ tọa độ thì ?

Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ , gọi I, J, K là các điểm sao cho . Gọi M là trung điểm của JK, G là trọng tâm tam giác IJK.

a) Xác định tọa độ của vectơ .

b) Xác định tọa độ của vectơ.

Giải (h.57)

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h57.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

a) Ta có

Do đó

b) Ta có

Hay

Từ định nghĩa về tọa độ của vectơ, ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây :

3. Tọa độ của điểm

Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vectơ (h.58). Bởi vậy, nếu (x ; y ; z) là tọa độ của thì ta cũng nói (x ; y ; z) là tọa độ của thì ta cũng nói (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M và kí hiệu là M = (x ; y ; z) hoặc M(x ; y ; z).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h58.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Như vậy:

Nếu điểm M có tọa độ (x ; y ; z) thì số x gọi làhoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của điểm M.

?3 Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M (x ; y ; z). Tại sao có các khẳng định như sau ?

a) MOx = y = z = 0.

b) M (Oxy) z = 0, tức là M = (x ; y ; 0).

M (Oyz) x = 0, tức là M = (0 ; y ; z).

M (Oxz) y = 0, tức là M = (x ; 0 ; z).

?4 Với điều kiện nào của x, y, z thì điểm M (x, y, z) nằm trên một trục tọa độ ?

1

Trên hình 59 có một hệ trục tọa độ Oxyz cùng với các hình vuông có cạnh bằng đơn vị.

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D, E.

b) Dựng điểm P nếu P= (3 ; 6; -3).

Tải trực tiếp tệp hình học động 59 (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h59.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Tải trực tiếp tệp hình học động 59a (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h59a.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút

Cho hai điểm A(x_A ; y_A ; z_A) và B(x_B ; y_B ; z_B). Theo định nghĩa ta có

= (x_A ; y_A ; z_A) và = (xB ; yB ; zB). Ta lại biết rằng .

Từ đó ta suy ra tọa độ của vectơ và độ dài của nó :

2

Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm không đồng phẳng A(x_A ; y_A ; z_A), B(x_B ; y_B ; z_B), C(x_C ; y_C ; z_C), D(x_D ; y_D ; z_D).

a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD.

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5 ; 3 ; -1), B(2 ; 3 ; -4), C(0 ; 2 ; 1), D(3 ; 1 ; -2)

1. Chứng mính rằng :

a) Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ;

b) Tứ diện ABCD có các cạnh đối vuông góc với nhau ;

c) Hình chóp D.ABC là hình chóp đều.

2. Tìm tọa độ chân đường cao H của hình chóp D.ABC.

Giải

1. a) Ta phải chứng minh ba vectơ = (2; 2; 1), = (-1; 2; -2) và = (-2; 1; 2) không đồng phẳng. Rõ ràng hai vevtơ và không cùng phương nên nếu ba vectơ , , đồng phẳng thì phải có các số m và n sao cho

Dễ thấy hệ phương trình trên vô nghiệm, suy ra ba vectơ ấy không đồng phẳng.

b) Ta có = (2; 2; 1) và = (-1; -1; 4).

Vậy .

Suy ra DABC.

Làm tương tự ta cũng có DBAC và DCAB.

c)

Tương tự, ta cũng có AB=BC=CA=. Vậy D.ABC là hình chóp đều.

2. Vì D.ABC là hình chóp đều nên H trùng với trọng tâm tam giác ABC hay

Từ đó suy ra

5. Tích có hướng của hai vectơ

Ta đã biết về tích vô hướng của hai vectơ. Ta cần nhớ rằng tích đó là một số và có thể tính được dễ dàng nếu biết tọa độ của hai vectơ.

Sau đây ta sẽ nói về tích có hướng của hai vectơ.

Khác với tich vô hướng, tích có hướng không phải là một số mà là một vevtơ, bởi vậy tích có hướng còn được gọi là tích vectơ.

ĐỊNH NGHĨA 2

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ và là một vectơ, kí hiệu là (hoặc ), được xác định bằng tọa độ như sau :

Ví dụ 3. Cho thì ta có :

3

Đối với hệ tọa độ , hãy chứng tỏ các công thức sau đây đúng :

Tính chất của tích có hướng

Các tính chất sau đây của tích có hướng thường được áp dụng khi giải một bài toán hình học :

Chứng minh

1. Giả sử .

Từ định nghĩa từ tích có hướng ta có

Suy ra

2. Nếu một trong hai vectơ và là vectơ thì tính chất 2 là hiển nhiên.

Bây giờ ta xét trường hợp cả hai vectơ đó khác .

3. Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính chất 2.

CHÚ Ý

Ta vẽ các vectơ .

Nếu hai vectơ và không cùng phương (h.60), ta gọi S là diện tích hình bình hành có hai cạnh là OA và OB, khi đó

Vậy độ dài của vectơ bằng số đo diện tích hình bình hành nói trên.

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h60.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Ứng dụng của tích có hướng

a) Tính diện tích hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì theo chú ý trên, ta có .

b) Tính thể tích khối hộp

Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp với diện tích đáy ABCD là S, chiều cao là h = AH, là góc hợp bởi hai vectơ và (h.61) thì thể tích của hình hộp đó là

Vậy

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h61.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

4

Hãy chứng tỏ rằng ba vectơ , và đồng phẳng khi và chỉ khi .

Như vậy, chúng ta nên nhớ một số tính chất liên quan đến tích vô hướng và tích có hướng sau đây

Ví dụ 4. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2), C(-1; 1; 0) và D(2; 1; -2) .

a) Chứng mình rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.

b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

c) Tính góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D.

Giải

a) Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ không đồng phẳng hay .

Ta có .

Suy ra :

Vậy bốn điểm đã cho không đồng phẳng.

b) Ta có

Nếu gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì

Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và 2p là chu vi của tam giác đó thì S_ABC = p.r. Dễ dàng tính được

Nên ta có:

Nếu gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD thì

d) Ta dễ thấy thể tích khối tứ diện ABCD bằng 1/6 thể tích khối hộp có ba cạnh là BA, BC, BD. Như vậy :

Nếu gọi DK là đường cao của tứ diện kẻ từ D thì

6. Phương trình mặt cầu

Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S(I ; R) có tâm I(x₀ ; y₀ ; z₀) và bán kính R (h.62).

Tải trực tiếp tệp hình học động (Nhấn chuột phải chọn Save Target As hoặc Lưu Liên Kết dưới dạng): L12_ch3_h62.cg3

Xem trực tiếp hình vẽ động trên màn hình. ( Nếu không xem được hình ảnh hiển thị xin vui lòng cài đặt Cabri 3D Plugin: Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe )

Điểm M(x, y, z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM = R hay IM² = R², nghĩa là (x - x₀)²+(y - y₀)²+(z - z₀)² = R².

Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I ; R).

Như vậy, nếu biết tọa độ của tâm và biết bán kính mặt cầu thì ta có thể dễ dàng viết được phương trình của mặt cầu đó.

Mặt cầu tâm I(x₀ ; y₀ ; z₀), bán kính R có phương trình

(x - x₀)²+(y - y₀)²+(z - z₀)² = R².

5

Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính A₁A₂ với

A₁ = (a₁ ; b₁ ; c₁) và A₂ = (a₂ ; b₂ ; c₂)

Theo hai cách :

- Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu.

- Nhận xét rằng điểm M nằm trên mặt cầu khi và chỉ khi .

6

Viết phương trình đi qua bốn điểm A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 1).

Nhận xét. Nếu ta triển khai phương trình mặt cầu S(I. R) và viết dưới dạng f(x, y, z) = 0 thì dễ thấy rằng f(x, y, z) là đa thức bậc hai đối với x, y, z có các hệ số của x², y², z² đều bằng 1 và không có các dạng tử chứa xy, yz, zx.

Bây giờ ta xét vấn đề ngược lại : Phương trình dạng

x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (1)

có phải là phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz cho trước hay không ?

Phương trình (1) có thể viết như sau :

(x + a)² + (y + b)² + (z + c)² = a² + b² + c² - d. (2)

Gọi I là điểm có tọa độ (-a ; -b ; -c) và M là điểm có tọa độ (x ; y ; z) thì vế trái của (2) chính là IM². Bởi vậy ta dễ dàng suy ra:

Nếu a² + b² + c² - d > 0 thì . Vậy (1) là phương trình của mặt cầu có tâm I(-a ; -b ; -c) và có bán kính

Nếu a² + b² + c² - d = 0 thì IM = 0 và phương trình (1) xác định điểm I duy nhất.

Nếu a² + b² + c² - d < 0 thì không có điểm M nào có tọa độ thỏa mãn (1).

Phương trình x² + y² +z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² > d. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(-a, -b, -c) và bán kính mặt cầu là

7

Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay không ? Nếu phải thì hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.

a) x² + y² - z² + 2x - y + 1 = 0 ;

b) 3x² + 3y² + 3z² – 2x = 0 ;

c) 2x² + 2y² = (x + y)² – z² + 2x – 1 ;

d) (x + y)² = 2xy - z² + 1.

Câu hỏi và bài tập

Từ nay trở đi, các bài tập liên quan đến tọa độ đều được xét trong không gian tọa độ Oxyz.

1. Cho các vectơ :

a) Tìm tọa độ của các vectơ đó.

b) Tìm côsin các góc: .

c) Tính các tích vô hướng .

2. Cho vectơ tùy ý khác . Chứng minh rằng :

3. Tìm góc giữa hai vectơ và trong mỗi trường hợp sau :

4. Biết , góc giữa hai vectơ và bằng . Tìm k để vectơ vuông góc với vectơ .

5.Cho điểm M(a, b, c).

a) Tìm tọa độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng tọa độ và trên các trục tọa độ.

b) Tìm các khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng tọa độ, đến các trục tọa độ.

c) Tìm tọa độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng tọa độ.

6. Cho hai điểm A(x₁, y₁¬, z₁) và B(x₂, y₂¬, z₂). Tìm tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là ), trong đó k ≠ 1.

7. Cho hình bình hành ABCD với A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2).

Tìm tọa độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ và .

8. a) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2).

b) Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; ; 5) và C(sin5t ; cos3t ; sin3t). Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc tọa độ).

9. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ , và trong mỗi trường hợp sau :

10. Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài và đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

d) Tính các góc của tam giác ABC.

11. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

12. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho .

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

13. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

a) x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 ;

b) 3x² + 3y² + 3z² + 6 x - 2y + 15z - 2 = 0 ;

c) 9x² + 9y² + 9z² – 6 x + 18y + 1 = 0 ;

14. Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :

a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz) ;

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox ;

c) Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).

school@net